¿A qué organismo debo acudir para cambiarle el apellido paterno a mi hijo?

Tengo un bebé de siete meses y al nacer por circunstancias de momento, se le colocó el apellido de alguien que no es su papá y luego de estos meses, ya habiendo llegado a un acuerdo con su padre biológico, me ha pedido darle el apellido y he aceptado.

¿Qué debo hacer ya que el bebé apenas tiene siete meses y es un tiempo prudente para arreglar ese gran problema? Por favor, de verdad, necesito asesoría urgente.